Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt
Der Goldene Schnitt (lat. sectio aurea) ist ein bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen oder Größen. Es beträgt etwa 1:1,618. Streckenverhältnisse im Goldenen Schnitt werden in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Darüber hinaus tritt dieses Verhältnis auch in der Natur in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter mathematischer Eigenschaften aus. Weitere verwendete Bezeichnungen sind stetige Teilung und göttliche Teilung (lat. proportio divina). (mehr bei Wikipedia...)
Konstruktionen
In der Geometrie betrachtet man Konstruktionsverfahren, die nur mit Zirkel und Lineal auskommen. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren. Hier seien exemplarisch einige erwähnt.
- Gebräuchlichste Konstruktion
Das folgende Verfahren ist wegen seiner Einfachheit beliebt.
1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
2. Der Kreis um C mit dem Radius BC schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Konstruktion 01
- Konstruktion nach Euklid
1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Konstruktion 02
- Verfahren nach Odom
Das folgende Konstruktionsverfahren wurde erst 1982 von dem amerikanischen Mathematiker George Odom entdeckt.
1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
2. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
4. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Beginnt man mit der Strecke AS, so ist zunächst das Dreieck zu konstruieren, was in mehreren Schritten problemlos möglich ist.
Konstruktion 03
Interessante Figuren
Der Goldene Schnitt wird in vielen Figuren und Objekten sichtbar. Einige besonders interessante sind hier aufgeführt.
Das Pentagramm
- Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. (mehr...) [187 KB]